Як правильно пишеться? Згідно з правилом орфографії, пишеться із закінченням «-ия» – день народження. Словосполучення складається з двох іменників, пов'язаних між собою управлінням. Тобто, головне слово «день«керує» залежним – «народження», Вимагаючи, щоб воно мало форму певного відмінка.
Правильно: день народження, на день народження, з Днем народження, мій день народження.
Тому відповідь на поставлене запитання однозначна: правильно писати «з днем народження», всі слова з малої (маленької) літери.