Народження — у родовому відмінку іменник «народження» пишеться через букву "і" в кінці слова. Такий варіант написання зафіксовано у всіх словниках російської. Написання «народження» допустимо лише у поезії задля збереження рими.
Головне слово – день, залежне – народження (день чого? народження, родовий відмінок). Правильно: день народження, на день народження, з Днем народження, мій день народження.
У словосполученні «день народження» головний компонент – слово чоловічого роду «день», тому правильно: мій день народження (не мій день народження), тещин день народження (не тещино день народження), звертає увагу «Словник труднощів».